
\prob{0064}{整数根方程I}

若关于$x$的二次方程

\[ (k^2 - 6k + 8)x^2 + (2k^2 - 6k - 4)x + k^2 = 4 \]

两根都是整数，求满足条件的所有实数$k$的值。
\problabels{yellow/数论, green/方程相关问题}

\ans{$k = 3$或$k = \sfrac{10}3$或$k = 6$}

\subsection{因式分解}

基本思路：通过因式分解解方程，然后利用整数的因数求解。

将原方程因式分解为

\[ \big((k - 2)x + (k + 2)\big)\big((k - 4)x + (k - 2)\big) = 0 \]

解得

\[ x_1 = -\frac{k + 2}{k - 2}, x_2 = -\frac{k - 2}{k - 4} \]

注意到

\[ x_2 = \frac2{x_1 + 3} \]

而$x_1, x_2$为整数，故$x_1 + 3$整除$2$，知$x_1 = -1$或$x_1 = -2$或$x_1 = -4$或$x_1 = -5$。

同时，$k + 2 \ne k - 2$，故$x_1 \ne-1$，故$x_1 = -2$或$x_1 = -4$或$x_1 = -5$。

当$x_1 = -2$时有$k = 6$，当$x_1 = -4$时有$k = \sfrac{10}3$，当$x_1 = -5$时有$k = 3$。故$k = 3$或$k = \sfrac{10}3$或$k = 6$。
